Дана окружность, в которой хорда удалена от её центра на расстояние H. В получившиеся два сегмента круга вписано по квадрату, так что соседние вершины лежат на хорде, а другие на соответствующей дуге окружности.
При условии, что H = 5 см., найти разность длин сторон квадратов.

Давайте пошагово решим задачу.

1. Идея задачи: Нам даны окружность и хорда, удалённая от её центра на расстояние $H = 5$ см. На каждом из сегментов окружности, образованных хордами, вписан квадрат, причём соседние вершины каждого квадрата лежат на хорде, а остальные вершины на дугах. Нужно найти разницу длин сторон этих квадратов.

2. Разбор задачи: Хорда делит окружность на два сегмента. Каждый из этих сегментов является частью окружности, на которой вписан квадрат. Важное условие: вершины квадратов на хорде — это смежные вершины квадрата, а другие вершины лежат на дуге окружности.

   Поскольку хорда делит окружность на два сегмента, они могут быть разной длины. Поэтому два вписанных квадрата могут иметь разные размеры, и нас просят найти разницу в длинах их сторон.

3. Математическое описание: Пусть радиус окружности равен $R$, а хорда находится на расстоянии $H$ от центра окружности.

   Если хорда разделяет окружность на два сегмента, то длина хорды будет зависеть от радиуса $R$ и расстояния $H$ от центра. Длина хорды $L$ может быть найдена через формулу:

   $$L = 2 \sqrt{R^2 - H^2}$$

   Мы знаем, что на каждом из сегментов вписан квадрат, и эти квадраты касаются хорды в своих соседних вершинах. В случае каждого квадрата важно учесть, что его вершины на дуге окружности находятся на определённом расстоянии от хорды, что связано с длиной дуги и углом, который она субтитирует.

4. Анализ разности длин сторон квадратов: Для каждого из квадратов длина его стороны будет зависеть от геометрии сегмента окружности, на котором он вписан. Формула для длины стороны квадрата на сегменте окружности в зависимости от радиуса окружности и длины хорды может быть сложной, но для задачи важно учитывать, что разница длин сторон квадратов пропорциональна разнице длин сегментов окружности, на которых эти квадраты вписаны.

   Чем длиннее сегмент, тем больше будет длина стороны квадрата, вписанного в этот сегмент. Разница в длине сторон квадратов будет соответствовать разнице в длине этих сегментов.

5. Конечный ответ: Разница в длине сторон квадратов будет зависеть от радиуса окружности $R$ и расстояния $H$, но без точных числовых данных для этих параметров дать конкретный числовой ответ невозможно. Однако, если бы нам был известен радиус $R$, можно было бы рассчитать разницу в длине сторон квадратов более точно.