Точка М лежит на хорде АВ так, что АМ:ВМ=4:3, АВ=14 см. Расстояние от центра окружности до точки М равно 4 см. Найдите радиус окружности

Давайте решим задачу пошагово.

У нас есть окружность, хорда $AB$ которой имеет длину 14 см. Точка $M$ лежит на хорде $AB$, причём делит её так, что отношение $AM : MB = 4 : 3$. Расстояние от центра окружности до точки $M$ равно 4 см, и нужно найти радиус окружности.

1. Определим длины отрезков $AM$ и $MB$. Из условия задачи известно, что $AM : MB = 4 : 3$. Пусть длина отрезка $AM = 4x$, а длина $MB = 3x$. Поскольку $A$ и $B$ лежат на хорде, то $AM + MB = AB = 14$ см. Таким образом, получаем:

   $$4x + 3x = 14,$$ $$7x = 14 \quad \Rightarrow \quad x = 2.$$

   Следовательно, $AM = 4 \times 2 = 8$ см и $MB = 3 \times 2 = 6$ см.

2. Используем свойство перпендикуляра из центра окружности. Поскольку точка $M$ лежит на хорде $AB$, из центра окружности $O$ проведём перпендикуляр $OM$ к хорде $AB$. Этот перпендикуляр будет делить хорду пополам, а также перпендикуляр из центра окружности всегда проходит через середину хорды. Это значит, что точка $M$ — это точка пересечения перпендикуляра с хордой.

3. Используем теорему о расстоянии от центра окружности до хорды. Так как хорда делится на два отрезка, перпендикуляр из центра окружности делит хорду на две равные части. Площадь треугольника, образованного радиусом, перпендикулярной линией и точкой M.