Через точку пересечения диагоналей квадрата проведены две взаимно перпендикулярные прямые. Докажите, что точки пересечения этих прямых со сторонами квадрата являются вершинами еще одного квадрата

Для доказательства этого утверждения предположим, что у нас есть квадрат ABCD. Пусть E, F, G и H - точки пересечения проведенных через центр O квадрата двух перпендикулярных прямых со сторонами квадрата. Нам нужно доказать, что четырехугольник EFGH также является квадратом.

1. Перпендикулярность сторон: Поскольку прямые, проходящие через O, взаимно перпендикулярны, каждая из них будет перпендикулярна стороне квадрата, на которую она падает. Например, прямая OE перпендикулярна AB и CD, а прямая OF перпендикулярна AD и BC. Это означает, что углы EOG, FOG, GOH и HOE являются прямыми углами. Таким образом, стороны EFGH взаимно перпендикулярны.

2. Равенство сторон: Рассмотрим треугольники OEA и OFA. Они прямоугольные и имеют общую гипотенузу OA и общий угол при вершине O. Следовательно, они равны (по гипотенузе и острому углу). Это означает, что OE = OF. Аналогичным образом можно показать, что OF = OG, OG = OH и OH = OE. Таким образом, все стороны EFGH равны.

3. Прямые углы в вершинах: Поскольку стороны EFGH взаимно перпендикулярны и равны, углы между соседними сторонами будут прямыми. Таким образом, углы EFGH все равны 90 градусам.

Из этих трех пунктов следует, что EFGH - это квадрат, так как он имеет все стороны равные, все углы прямые и стороны взаимно перпендикулярны. Это завершает доказательство.