Через точку О пересечения диагоналей квадрата, сторона которого равна 2 см, проведен отрезок ОМ, перпендикулярный плоскости квадрата. ОМ = 3 см. Найдите расстояние от точки М до вершин квадрата. Если можно с рисунком, дано и подробным решением​

Для решения задачи давайте разберем данное условие и построим план решения.

Дано:

1. Квадрат ABCD, сторона которого равна $a = 2$ см.
2. Точка $O$ — это точка пересечения диагоналей квадрата.
3. Отрезок $OM$, проведенный перпендикулярно плоскости квадрата, равен $OM = 3$ см.
4. Требуется найти расстояние от точки $M$ до вершин квадрата $A$, $B$, $C$, $D$.

Решение:

Для начала введем координатную систему с точкой $O$ в начале координат $(0, 0, 0)$. Это упростит расчеты, так как точка пересечения диагоналей квадрата будет в центре координат.

1. Найдём координаты вершин квадрата ABCD:

• Так как сторона квадрата равна 2 см, каждая его диагональ будет равна:

  $$d = a \sqrt{2} = 2 \sqrt{2} \, \text{см}$$

• Диагонали квадрата пересекаются под прямым углом и делятся точкой $O$ пополам. Таким образом, половина диагонали равна:

  $$\frac{d}{2} = \sqrt{2} \, \text{см}$$

• Пусть квадрат лежит в плоскости $xy$, тогда его вершины будут иметь следующие координаты:

  • $A(\sqrt{2}, \sqrt{2}, 0)$
  • $B(-\sqrt{2}, \sqrt{2}, 0)$
  • $C(-\sqrt{2}, -\sqrt{2}, 0)$
  • $D(\sqrt{2}, -\sqrt{2}, 0)$

2. Координаты точки $M$:

Так как $OM = 3$ см, и $OM$ перпендикулярен плоскости квадрата, точка $M$ будет находиться на оси $z$ на расстоянии 3 см от плоскости квадрата:

3. Вычисление расстояния от $M$ до вершин квадрата:

Расстояние между двумя точками в пространстве $A(x_1, y_1, z_1)$ и $M(x_2, y_2, z_2)$ вычисляется по формуле:

Найдем расстояние от $M$ до одной из вершин квадрата, например, до точки $A$:

Аналогично, расстояние от $M$ до точек $B$, $C$ и $D$ также будет равно $\sqrt{13}$, так как они симметричны относительно точки $O$.

Ответ:

Расстояние от точки $M$ до любой вершины квадрата равно $\sqrt{13}$