3. В равнобедренном треугольнике KLM, на основании KM указана точка P. От этой точки проведены перпендикуляры к двум боковым сторонам, соответственно PA и PB. Докажите, что эти отрезки PA и PB равны друг другу.

Докажем, что в равнобедренном треугольнике $KLM$, отрезки $PA$ и $PB$, проведённые перпендикулярно к боковым сторонам $KL$ и $LM$ соответственно, равны.

Дано:

1. Треугольник $KLM$ равнобедренный ($KL = LM$).
2. Точка $P$ находится на основании $KM$.
3. Проведены перпендикуляры $PA$ к стороне $KL$ и $PB$ к стороне $LM$.

Требуется доказать:

$PA = PB$.

Доказательство:

1. Треугольник симметричен относительно медианы и высоты.
   В равнобедренном треугольнике $KLM$ высота, проведённая из вершины $L$ к основанию $KM$, также является медианой и биссектрисой. Обозначим точку пересечения высоты с основанием как $O$. Тогда $O$ является серединой отрезка $KM$.

2. Рассмотрим перпендикуляры $PA$ и $PB$.
   Поскольку $P$ лежит на основании $KM$, её положение относительно $O$ (середины основания) делит треугольник на два подмножества. Мы докажем равенство $PA = PB$ для произвольного $P$.

3. Используем свойства прямоугольных треугольников.
   Рассмотрим треугольники $\triangle PAK$ и $\triangle PBM$, которые образуются перпендикулярами. Заметим, что:

   • $PA$ и $PB$ — высоты из точки $P$ к сторонам $KL$ и $LM$, соответственно.
   • Угол между $PA$ и основанием $KM$ равен $\angle APK = 90^\circ$, и аналогично $\angle BPM = 90^\circ$.
     Следовательно, оба треугольника ($\triangle PAK$ и $\triangle PBM$) прямоугольные.

4. Сравниваем треугольники $\triangle PAK$ и $\triangle PBM$.
   Рассмотрим эти треугольники:

   • $KL = LM$ (по условию, равнобедренный треугольник).
   • $\angle KLP = \angle MLP$ (так как $KL = LM$ и треугольник симметричен).
   • Общая сторона $KM$.

   Таким образом, треугольники $\triangle PAK$ и $\triangle PBM$ равны по гипотенузе и острому углу (или по первому признаку равенства треугольников).

5. Вывод.
   Из равенства треугольников $\triangle PAK$ и $\triangle PBM$ следует, что их соответствующие катеты равны. В частности, $PA = PB$.

Заключение:

Мы доказали, что в равнобедренном треугольнике, если из точки $P$, лежащей на основании, проведены перпендикуляры к боковым сторонам, то эти перпендикуляры равны: $PA = PB$.