Диагональ боковой грани правильной треугольной призмы наклонена к плоскости основания под углом α,а площадь этой грани равна Q.Найдите полную поверхность.

Чтобы найти полную поверхность правильной треугольной призмы, если известен угол наклона диагонали боковой грани к плоскости основания $\alpha$ и площадь боковой грани $Q$, разберём задачу по шагам.

1. Параметры правильной треугольной призмы

Правильная треугольная призма состоит из двух равносторонних треугольников в основаниях и трёх прямоугольных боковых граней. Нам даны:

• Угол наклона диагонали боковой грани ($\alpha$) к плоскости основания;
• Площадь боковой грани ($Q$).

Для полного решения определим:

• Ребро основания ($a$);
• Высоту призмы ($h$);
• Полную поверхность призмы.

2. Выражение для боковой грани

Площадь боковой грани прямоугольная, её стороны — это ребро основания ($a$) и высота призмы ($h$):

Из этого можно выразить:

3. Диагональ боковой грани

Диагональ боковой грани ($d$) соединяет противоположные вершины бокового прямоугольника и находится по теореме Пифагора:

Диагональ наклонена к плоскости основания под углом $\alpha$, поэтому:

Отсюда можно выразить $h$:

4. Связь $h$, $a$ и $Q$

Сравниваем выражения для $h$:

Умножаем обе стороны на $a$:

Отсюда:

5. Площадь основания

Основание — это правильный треугольник со стороной $a$. Его площадь:

Подставим найденное $a$:

6. Полная поверхность призмы

Полная поверхность включает площади двух оснований и трёх боковых граней:

Подставляем $S_{\text{осн}}$:

Упростим выражение:

Итоговая формула

Полная поверхность призмы выражается как:

Для вычислений потребуется подставить значения $Q$ и $\alpha$, после чего выполнить вычисления.