Найдите углы четырехугольника,если три его угла пропорциональны числам 4, 5 и 7,а четвертый угол равен их полусумме.Является ли этот четырех угольник выпуклым?

Рассмотрим задачу подробно.

Условие:

Четырехугольник имеет четыре угла. Три из них пропорциональны числам $4$, $5$, и $7$, а четвертый угол равен полусумме этих трех углов. Нужно найти все углы четырехугольника и определить, является ли он выпуклым.

Шаг 1: Свойство суммы углов четырехугольника

Сумма углов любого четырехугольника равна $360^\circ$. Обозначим углы как $x_1, x_2, x_3, x_4$, где:

• $x_1 : x_2 : x_3 = 4 : 5 : 7$,
• $x_4 = \frac{x_1 + x_2 + x_3}{2}$.

Шаг 2: Выражение углов через пропорцию

Пусть коэффициент пропорциональности равен $k$. Тогда:

С учетом условия для $x_4$, имеем:

Шаг 3: Уравнение для суммы углов

Подставим выражения всех углов в уравнение суммы углов четырехугольника:

Подставляем значения:

Считаем:

Находим $k$:

Шаг 4: Определение углов

Теперь вычислим углы:

Таким образом, углы четырехугольника:

Шаг 5: Проверка на выпуклость

Четырехугольник является выпуклым, если все его углы меньше $180^\circ$.

Проверим:

Все углы удовлетворяют этому условию, следовательно, четырехугольник является выпуклым.

Ответ:

Углы четырехугольника равны:

Четырехугольник выпуклый, так как все углы меньше $180^\circ$.