Дана треугольная пирамида ABCD. Точка M лежит на ребре BC, причём BM : MC = 1 : 2. Постройте точку пересечения прямой, проходящей через точку M и середину ребра CD, с плоскостью ABD.​

Для решения задачи рассмотрим треугольную пирамиду ABCD, в которой точка $M$ лежит на ребре $BC$, причём выполняется отношение $BM : MC = 1 : 2$. Задача заключается в нахождении точки пересечения прямой, проходящей через точку $M$ и середину ребра $CD$, с плоскостью $ABD$.

Шаг 1: Определим координаты точек

Допустим, что вершины пирамиды имеют следующие координаты в трёхмерном пространстве:

• $A(0, 0, 0)$,
• $B(b_1, 0, 0)$,
• $C(c_1, c_2, 0)$,
• $D(d_1, d_2, d_3)$.

Теперь определим координаты точки $M$, которая лежит на ребре $BC$. Поскольку точка $M$ делит отрезок $BC$ в отношении $BM : MC = 1 : 2$, можно найти её координаты, используя формулу для нахождения точки, делящей отрезок в заданном отношении:

Шаг 2: Найдём координаты середины ребра $CD$

Теперь найдём координаты середины отрезка $CD$. Середина отрезка $CD$ имеет координаты, являющиеся средними значениями соответствующих координат концов отрезка. То есть:

Шаг 3: Уравнение прямой через точки $M$ и середину $CD$

Теперь найдём уравнение прямой, проходящей через точку $M$ и середину ребра $CD$. Пусть эта прямая имеет параметрическое представление:

Для упрощения записи будем использовать компоненты вектора. Тогда координаты точки на прямой: