Дана треугольная пирамида DABC. Известно, что ребро DA перпендикулярно плоскости ABC, треугольник ABC — равносторонний, AD=4 и AB=6. Найдите тангенс двугранного угла при ребре BC.

Задача состоит в нахождении тангенса двугранного угла при ребре $BC$ треугольной пирамиды $DABC$, где:

• $DA \perp$ плоскости $ABC$,
• треугольник $ABC$ — равносторонний,
• $AD = 4$,
• $AB = 6$.

Шаг 1: Геометрическое описание и вывод о плоскости $ABC$

1. Так как треугольник $ABC$ равносторонний, все его стороны равны между собой, то есть $AB = BC = CA = 6$.
2. Треугольник лежит в плоскости $ABC$, а точка $D$ находится прямо над центром этого треугольника, так как $DA \perp$ плоскости $ABC$, то есть точка $A$ находится в центре основания пирамиды, а точка $D$ — над этой плоскостью.
3. Поскольку $AD \perp$ плоскости $ABC$, то линии $DA$ и плоскость $ABC$ образуют прямой угол.

Шаг 2: Упрощение задачи с помощью координат

Для удобства представим задачу в координатной плоскости. Выберем систему координат так, чтобы точка $A$ находилась в начале координат $(0, 0, 0)$, а плоскость $ABC$ лежала в плоскости $z = 0$. Пусть точка $D$ находится по оси $z$, то есть её координаты будут $D(0, 0, 4)$, так как $AD = 4$.

Определим координаты точек $B$ и $C$:

• Треугольник $ABC$ равносторонний, и его стороны равны 6. Разместим точки $B$ и $C$ так, чтобы они лежали в плоскости $z = 0$ на расстоянии 6 друг от друга.
• Для этого удобно расположить точку $B$ на оси $x$, например, $B(3, 0, 0)$.
• Тогда точка $C$ будет находиться на равном расстоянии от точки $B$ и от точки $A$, и её координаты будут $C(1.5, 3√3, 0)$.

Шаг 3: Нахождение нормалей к плоскостям, образующим двугранный угол

Теперь мы можем найти тангенс двугранного угла при ребре $BC$. Двугранный угол при ребре $BC$ — это угол между двумя плоскостями, одна из которых проходит через точки $D$, $B$, $C$ (плоскость $DBC$), а другая — через точки $A$, $B$, $C$ (плоскость $ABC$).

Для этого сначала нужно найти нормали к этим плоскостям.

Нормаль к плоскости $ABC$:

Плоскость $ABC$ — это плоскость, в которой лежат точки $A$, $B$, и $C$. Чтобы найти нормаль к этой плоскости, нужно вычислить векторное произведение двух векторов, лежащих в этой плоскости. Например, можно взять векторы $\overrightarrow{AB}$ и $\overrightarrow{AC}$:

Векторное произведение этих векторов:

Нормаль к плоскости $ABC$ имеет координаты $(0, 0, 9\sqrt{3})$.

Нормаль к плоскости $DBC$:

Плоскость $DBC$ проходит через точки $D(0, 0, 4)$, $B(3, 0, 0)$, и $C(1.5, 3\sqrt{3}, 0)$. Для нахождения нормали к этой плоскости нужно опять вычислить векторное произведение двух векторов в плоскости. Возьмем векторы $\overrightarrow{DB}$ и $\overrightarrow{DC}$: