В треугольнике ABC точки M и N являются серединами сторон AB и AC соответственно. Найдите длину отрезка CB, если AB = 14 см, AC = 10 см, а периметр треугольника AMN равен 21 см.

Для решения этой задачи можно воспользоваться теоремой о серединах треугольника и свойствами подобных треугольников.

1. Определим ключевые параметры задачи:

   • Треугольник ABC.
   • M — середина стороны AB, N — середина стороны AC.
   • Периметр треугольника AMN равен 21 см.
   • AB = 14 см, AC = 10 см.

2. Рассмотрим треугольник AMN:

   Так как M и N — середины сторон AB и AC, то треугольник AMN является подобным треугольнику ABC по теореме о серединах. Теорема о серединах говорит, что в треугольнике, соединённом отрезками, которые являются серединами его сторон, новый треугольник будет подобен исходному и его стороны будут в два раза короче соответствующих сторон исходного треугольника.

   Это означает, что:

   • Сторона AM будет равна половине стороны AB: $AM = \frac{AB}{2} = \frac{14}{2} = 7$ см.
   • Сторона AN будет равна половине стороны AC: $AN = \frac{AC}{2} = \frac{10}{2} = 5$ см.
   • Сторона MN будет равна половине стороны BC (этот отрезок параллелен стороне BC).

3. Периметр треугольника AMN:

   Периметр треугольника AMN равен сумме его сторон:

   $$P_{AMN} = AM + AN + MN.$$

   Мы знаем, что периметр треугольника AMN равен 21 см, и стороны AM и AN уже известны:

   $$21 = 7 + 5 + MN.$$

   Отсюда находим:

   $$MN = 21 - 7 - 5 = 9 \text{ см}.$$

4. Связь между сторонами треугольников ABC и AMN:

   Поскольку треугольники AMN и ABC подобны, то длина стороны MN в два раза меньше длины стороны BC:

   $$MN = \frac{BC}{2}.$$

   Мы уже нашли, что $MN = 9$ см, следовательно:

   $$BC = 2 \times MN = 2 \times 9 = 18 \text{ см}.$$

Ответ: длина отрезка BC равна 18 см.