Решите уравнение \( x^3 - 4x^2 - x + 4 = 0 \).

Для решения уравнения $x^3 - 4x^2 - x + 4 = 0$ можно воспользоваться методом подбора корней и затем разложить многочлен на множители.

Шаг 1: Пробуем найти целые корни с помощью теоремы о целых корнях.

Теорема о целых корнях гласит, что возможные целые корни уравнения $ax^n + bx^{n-1} + \dots + k = 0$ могут быть делителями свободного члена $k$ (в данном случае 4) и делителями старшего коэффициента $a$ (в данном случае 1).

Свободный член $k = 4$, старший коэффициент $a = 1$, значит, возможные целые корни — это делители числа 4, то есть $\pm 1, \pm 2, \pm 4$.

Шаг 2: Пробуем подставить эти значения в уравнение.

1. Подставляем $x = 1$:

   $$1^3 - 4(1)^2 - 1 + 4 = 1 - 4 - 1 + 4 = 0.$$

   Таким образом, $x = 1$ — корень уравнения.

Шаг 3: Разделим исходное уравнение на $(x - 1)$ с помощью деления многочленов.

Используем деление многочлена $x^3 - 4x^2 - x + 4$ на $(x - 1)$.

1. Разделим $x^3 - 4x^2 - x + 4$ на $x - 1$ методом деления в столбик.

После деления получаем:

Шаг 4: Решаем квадратное уравнение $x^2 - 3x - 4 = 0$.

Для этого применим формулу для решения квадратного уравнения:

где $a = 1$, $b = -3$, $c = -4$.

Подставляем значения:

Таким образом, получаем два корня:

Шаг 5: Составляем полный набор корней.

У нас есть три корня уравнения:

Таким образом, решения уравнения $x^3 - 4x^2 - x + 4 = 0$ — это $x = 1$, $x = 4$ и $x = -1$.