Решите уравнение logₓ (x-1) = logₓ (2x-8)

Для решения уравнения $\log_x (x - 1) = \log_x (2x - 8)$, начнем с того, что у нас есть равенство двух логарифмов с одинаковым основанием. Когда логарифмы с одинаковыми основаниями равны, их аргументы также должны быть равны. То есть, можем записать:

Теперь решим это линейное уравнение. Переносим все переменные в одну сторону, а все числа в другую:

Умножим обе части уравнения на $-1$, получаем:

Однако нам нужно проверить, подходит ли найденное значение $x = 7$ для исходного логарифмического уравнения. Логарифмы определены только для положительных аргументов. Подставим $x = 7$ в аргументы логарифмов:

• $x - 1 = 7 - 1 = 6$,

• $2x - 8 = 2(7) - 8 = 14 - 8 = 6$.

Оба аргумента положительные, значит, $x = 7$ — допустимое решение.

Таким образом, решение уравнения — $x = 7$.