В каком треугольнике любая медиана является биссектрисой и высотой и почему?

Треугольник, в котором любая медиана одновременно является и биссектрисой, и высотой, — это равносторонний треугольник.

Почему?
В равностороннем треугольнике все стороны равны, а также все углы равны и составляют по 60°. Эта симметрия вызывает особое совпадение некоторых линий, которые в произвольном треугольнике обычно различаются.

Рассмотрим одну из медиан в равностороннем треугольнике:

• Медиана — отрезок, соединяющий вершину с серединой противоположной стороны. В равностороннем треугольнике медиана делит противоположную сторону на две равные части.

• Биссектриса — делит угол при вершине пополам. В равностороннем треугольнике, где все углы равны, медиана действительно проходит по биссектрисе, так как каждая сторона и каждый угол симметричны.

• Высота — перпендикуляр, опущенный из вершины на противоположную сторону. В равностороннем треугольнике медиана делит основание пополам и при этом проходит под прямым углом (то есть перпендикулярно к основанию).

Таким образом, благодаря полной симметрии равностороннего треугольника, медиана совпадает с биссектрисой и высотой одновременно. В любом другом типе треугольника (например, равнобедренном или разностороннем) такого совпадения всех трёх линий в одной невозможно.