√2x+5-√3x-5=2 Решите уравнение

Для решения уравнения √(2x + 5) - √(3x - 5) = 2, давайте шаг за шагом разберем, как его решить.

Шаг 1: Изолируем один из корней

Для начала перенесем один из корней на другую сторону уравнения. Это поможет нам упростить уравнение:

√(2x + 5) = √(3x - 5) + 2

Шаг 2: Возводим обе стороны в квадрат

Теперь возведем обе части уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратных корней:

(√(2x + 5))² = (√(3x - 5) + 2)²

Получаем:

2x + 5 = (3x - 5) + 4√(3x - 5) + 4

Шаг 3: Упростим выражение

Преобразуем правую часть уравнения:

2x + 5 = 3x - 5 + 4√(3x - 5) + 4

2x + 5 = 3x - 1 + 4√(3x - 5)

Шаг 4: Изолируем корень

Переносим все, что не связано с корнем, на одну сторону уравнения:

2x + 5 - 3x + 1 = 4√(3x - 5)

-x + 6 = 4√(3x - 5)

Шаг 5: Возводим обе стороны в квадрат снова

Теперь возводим обе стороны уравнения в квадрат, чтобы избавиться от квадратного корня:

(-x + 6)² = (4√(3x - 5))²

(x - 6)² = 16(3x - 5)

Шаг 6: Раскрываем скобки

Раскроем скобки с обеих сторон уравнения:

(x² - 12x + 36) = 48x - 80

Шаг 7: Переносим все в одну сторону

Теперь соберем все элементы на одной стороне уравнения:

x² - 12x + 36 - 48x + 80 = 0

x² - 60x + 116 = 0

Шаг 8: Решаем квадратное уравнение

Теперь решаем полученное квадратное уравнение x² - 60x + 116 = 0. Для этого используем дискриминант:

D = (-60)² - 4(1)(116) = 3600 - 464 = 3136

Теперь находим корни уравнения:

x = (-(-60) ± √3136) / 2(1)

x = (60 ± 56) / 2

Шаг 9: Вычисляем корни

x₁ = (60 + 56) / 2 = 116 / 2 = 58
x₂ = (60 - 56) / 2 = 4 / 2 = 2

Шаг 10: Проверка корней

Теперь проверим полученные значения x в исходном уравнении.

Для x = 58:

√(2(58) + 5) - √(3(58) - 5) = √(116 + 5) - √(174 - 5) = √121 - √169 = 11 - 13 = -2

Это не равно 2, значит x = 58 — не корень.

Для x = 2:

√(2(2) + 5) - √(3(2) - 5) = √(4 + 5) - √(6 - 5) = √9 - √1 = 3 - 1 = 2

Это равняется 2, значит x = 2 — корень уравнения.

Ответ:

Единственный корень уравнения — x = 2.