Дано векторы а=(-1;1;4), в=(3;-5;8). Найти орт вектора с=а + 2в.

Для нахождения ортогонального (перпендикулярного) вектора к вектору $\mathbf{c} = \mathbf{a} + 2\mathbf{b}$, сначала нужно вычислить сам вектор $\mathbf{c}$.

1. Вычислим вектор $\mathbf{c}$:

   $$\mathbf{c} = \mathbf{a} + 2\mathbf{b} = (-1; 1; 4) + 2(3; -5; 8) = (-1; 1; 4) + (6; -10; 16) = (5; -9; 20)$$

   Таким образом, вектор $\mathbf{c} = (5; -9; 20)$.

2. Теперь найдем ортогональный вектор к $\mathbf{c}$:

   Чтобы найти вектор, ортогональный $\mathbf{c} = (5; -9; 20)$, можно воспользоваться скалярным произведением. Ортогональные векторы должны иметь нулевое скалярное произведение.

   Пусть вектор $\mathbf{d} = (x; y; z)$ — это искомый ортогональный вектор. Тогда скалярное произведение $\mathbf{c}$ и $\mathbf{d}$ должно быть равно нулю:

   $$\mathbf{c} \cdot \mathbf{d} = 5x + (-9)y + 20z = 0$$

   Это уравнение:

   $$5x - 9y + 20z = 0$$

   Мы имеем одно линейное уравнение с тремя неизвестными. Это означает, что решение не одно, а существует бесконечно много ортогональных векторов. Чтобы найти конкретное решение, нужно задать два из этих значений, а третье вычислить.

   Рассмотрим, например, $y = 1$ и $z = 0$:

   $$5x - 9(1) + 20(0) = 0 \implies 5x - 9 = 0 \implies x = 9/5$$

   Таким образом, один из возможных ортогональных векторов будет:

   $$\mathbf{d} = \left( \frac{9}{5}; 1; 0 \right)$$

   Это один из множества ортогональных векторов, поскольку для других значений $y$ и $z$ будут получаться другие решения.