Докажите, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию.

Давайте докажем, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию этого треугольника.

1. Пусть у нас есть равнобедренный треугольник ABC, где AB = AC (боковые стороны равны), и основание BC.

2. Рассмотрим внешний угол при вершине A. Это угол, образованный продолжением стороны BC и стороной AB или AC. Допустим, мы рассматриваем внешний угол при вершине A, образованный продолжением стороны BC и стороной AB.

3. Биссектрисой внешнего угла называется такая прямая, которая делит внешний угол пополам. Обозначим эту биссектрису как прямую AD, которая пересекает продолжение стороны BC в точке D.

4. Теперь важно заметить, что в равнобедренном треугольнике углы при основании (углы ABC и ACB) равны. Пусть угол при вершине A будет равен α, тогда углы ABC и ACB будут равны (180° - α) / 2.

5. Биссектриса внешнего угла делит его пополам. То есть угол между прямой AD и стороной AB будет равен половине внешнего угла. Таким образом, угол между биссектрисой и продолжением стороны BC равен углу между продолжением BC и стороной AB, что соответствует половине угла α.

6. Из теоремы о параллельности прямых мы знаем, что если углы между двумя прямыми равны, то эти прямые параллельны. Таким образом, биссектриса внешнего угла будет параллельна основанию BC.

Это завершает доказательство того, что биссектриса внешнего угла при вершине равнобедренного треугольника, противолежащей основанию, параллельна основанию.