Решите полные квадратные уравнения: X^2-11x+24=0 X^2-x-1=0 X^2+x-4=0

I. $x^{2}-11x+24=0$

1. Находим дискриминант
   $D = b^{2}-4ac = (-11)^{2}-4\cdot1\cdot24 = 121-96 = 25$.

2. Корни по формуле
   $x_{1,2}=\dfrac{-b\pm\sqrt{D}}{2a}= \dfrac{11\pm5}{2}$.

3. Вычисляем:
   $x_{1}= \dfrac{11+5}{2}=8,\qquad x_{2}= \dfrac{11-5}{2}=3$.

4. Проверка: $8^{2}-11\cdot8+24=0,\; 3^{2}-11\cdot3+24=0$.
   Всё верно.
   Ответ: $x=8$ или $x=3$.

(Заметим, что уравнение можно было сразу разложить: $(x-3)(x-8)=0$.)

II. $x^{2}-x-1=0$

1. Дискриминант
   $D=(-1)^{2}-4\cdot1\cdot(-1)=1+4=5$.

2. Корни
   $x_{1,2}=\dfrac{1\pm\sqrt{5}}{2}$.

3. Проверка подстановкой подтверждает правильность.
   Ответ: $x=\dfrac{1+\sqrt5}{2}$ или $x=\dfrac{1-\sqrt5}{2}$.

III. $x^{2}+x-4=0$

1. Дискриминант
   $D=1^{2}-4\cdot1\cdot(-4)=1+16=17$.

2. Корни
   $x_{1,2}=\dfrac{-1\pm\sqrt{17}}{2}$.

3. Проверка подстановкой верна.
   Ответ: $x=\dfrac{-1+\sqrt{17}}{2}$ или $x=\dfrac{-1-\sqrt{17}}{2}$.