В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Известно, что AC = 84 и BC = BM. Найдите AH.

В треугольнике ABC проведены медиана BM и высота BH. Из условия задачи известно, что AC = 84 и BC = BM. Необходимо найти длину отрезка AH.

1. Основные свойства медианы и высоты:

   • Медиана BM соединяет вершину B с серединой стороны AC.

   • Высота BH перпендикулярна стороне AC и также проходит через вершину B.

2. Используем информацию о равенстве сторон:
   Из условия задачи известно, что BC = BM. Это дает нам возможность рассматривать треугольник BMC, где BM — медиана, а BC — одна из сторон. Так как медиана равна одной из сторон, это указывает на то, что треугольник BMC — равнобедренный.

3. Разбор на два прямоугольных треугольника:
   Поскольку BH — высота, она перпендикулярна стороне AC. Треугольники BHA и BHC являются прямоугольными. Важно заметить, что длина отрезка AH — это часть отрезка AC, разделённая на две части высотой BH. Так как треугольники BHA и BHC симметричны относительно медианы BM, можно утверждать, что AH = HC.

4. Находим AH:
   Поскольку AC = 84 и медиана BM делит сторону AC на два равных отрезка, то длина каждого из этих отрезков (AH и HC) составляет половину от AC. Следовательно, AH = 84 / 2 = 42.

Ответ: AH = 42.