В прямоугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. Найдите периметр треугольника AOC, если AB равно 4 см, а BD равно 5 см.

Для решения задачи, сначала вспомним, что в прямоугольнике диагонали пересекаются в его центре и делят друг друга пополам. То есть, точка пересечения диагоналей O — это середина обеих диагоналей.

1. Дано:

   • $AB = 4 \, \text{см}$

   • $BD = 5 \, \text{см}$

   В прямоугольнике $ABCD$, диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$, которая является их серединой.

2. Для того чтобы найти периметр треугольника $AOC$, нужно определить его стороны:

   • $AO = \frac{AC}{2}$, так как точка $O$ — середина диагонали.

   • $CO = \frac{AC}{2}$ — аналогично для диагонали $AC$.

   • $AC$ — длина диагонали прямоугольника, которая по теореме Пифагора равна:

     $$AC = \sqrt{AB^2 + AD^2}$$

     Поскольку $AB = 4 \, \text{см}$, а $AD = AB = 4 \, \text{см}$ (в прямоугольнике противоположные стороны равны), то:

     $$AC = \sqrt{4^2 + 4^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \, \text{см}$$

   Таким образом, $AO = CO = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \, \text{см}$.

3. Теперь найдем длину стороны $OC$. В треугольнике $AOC$ это будет просто $AC$, то есть $4\sqrt{2}$ см.

4. Периметр треугольника $AOC$ можно найти как сумму длин его сторон:

   $$P = AO + OC + AC = 2\sqrt{2} + 2\sqrt{2} + 4\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \, \text{см}$$

Таким образом, периметр треугольника $AOC$ равен $8\sqrt{2}$ см.