Составить уравнение касательной для данной функции в точке касания \( x_0 \): \( f(x) = x^2 + 1 \), \( x_0 = 1 \).

Для того чтобы составить уравнение касательной к функции $f(x) = x^2 + 1$ в точке $x_0 = 1$, нужно выполнить несколько шагов.

1. Найти значение функции в точке касания:

   Подставим $x_0 = 1$ в функцию $f(x)$:

   $$f(1) = 1^2 + 1 = 2$$

   Значит, точка касания имеет координаты $(1, 2)$.

2. Найти производную функции $f(x)$:

   Производная функции $f(x) = x^2 + 1$ будет:

   $$f'(x) = 2x$$

3. Найти наклон касательной в точке $x_0 = 1$:

   Подставим $x_0 = 1$ в производную:

   $$f'(1) = 2 \cdot 1 = 2$$

   Таким образом, наклон касательной в точке $x_0 = 1$ равен 2.

4. Записать уравнение касательной:

   Уравнение касательной в точке $x_0$ имеет вид:

   $$y - f(x_0) = f'(x_0)(x - x_0)$$

   Подставляем известные значения $f(x_0) = 2$, $f'(x_0) = 2$, и $x_0 = 1$:

   $$y - 2 = 2(x - 1)$$

5. Упростить уравнение касательной:

   Раскроем скобки:

   $$y - 2 = 2x - 2$$

   Теперь прибавим 2 к обеим частям уравнения:

   $$y = 2x$$

Таким образом, уравнение касательной к функции $f(x) = x^2 + 1$ в точке $x_0 = 1$ — это $y = 2x$.