В треугольнике ABC угол C равен 90°, BC=5, площадь треугольника равна 20. Найдите tgB.

В данном треугольнике ABC угол C является прямым, то есть треугольник прямоугольный. Дано, что $BC = 5$ и площадь треугольника равна 20.

1. Напоминаем, что площадь прямоугольного треугольника можно вычислить по формуле:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot \text{катет}_1 \cdot \text{катет}_2$$

   Здесь катеты — это стороны, которые образуют прямой угол. Пусть $AB$ — гипотенуза, а $AC$ и $BC$ — катеты. Из условия задачи известно, что площадь треугольника $S = 20$, а катет $BC = 5$. Подставим эти данные в формулу для площади:

   $$20 = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot 5$$

   Умножаем обе части на 2:

   $$40 = AC \cdot 5$$

   Разделим обе части на 5:

   $$AC = 8$$

2. Теперь, зная длины катетов $AC = 8$ и $BC = 5$, можно найти гипотенузу $AB$ с помощью теоремы Пифагора:

   $$AB^2 = AC^2 + BC^2$$

   Подставляем значения:

   $$AB^2 = 8^2 + 5^2 = 64 + 25 = 89$$

   Таким образом, гипотенуза:

   $$AB = \sqrt{89}$$

3. Теперь найдем $\tan B$. В прямоугольном треугольнике для угла $B$ тангенс вычисляется как отношение противолежащего катета (катета $AC$) к прилежащему катету (катету $BC$):

   $$\tan B = \frac{AC}{BC} = \frac{8}{5}$$

Ответ: $\tan B = \frac{8}{5}$.