Укажите решение неравенства (х+3)(х-5) ≤ 0

Для решения неравенства $(x+3)(x-5) \leq 0$ будем использовать метод интервалов.

1. Найдем нули выражения. Для этого приравняем каждую скобку к нулю:

   • $x + 3 = 0 \Rightarrow x = -3$

   • $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$

Таким образом, выражение равно нулю при $x = -3$ и $x = 5$.

2. Разделим числовую ось на интервалы. Эти точки ($x = -3$ и $x = 5$) разбивают ось на три интервала:

   • $(-∞, -3)$

   • $(-3, 5)$

   • $(5, +∞)$

3. Проверим знак выражения на каждом интервале. Возьмем любые тестовые значения из каждого интервала и подставим их в выражение $(x+3)(x-5)$:

   • Для интервала $(-∞, -3)$, например, возьмем $x = -4$:

     $$(x+3)(x-5) = (-4+3)(-4-5) = (-1)(-9) = 9 \quad (\text{положительный знак})$$

   • Для интервала $(-3, 5)$, например, возьмем $x = 0$:

     $$(x+3)(x-5) = (0+3)(0-5) = (3)(-5) = -15 \quad (\text{отрицательный знак})$$

   • Для интервала $(5, +∞)$, например, возьмем $x = 6$:

     $$(x+3)(x-5) = (6+3)(6-5) = (9)(1) = 9 \quad (\text{положительный знак})$$

4. Определим знак выражения на каждом интервале:

   • На интервале $(-∞, -3)$ выражение положительное.

   • На интервале $(-3, 5)$ выражение отрицательное.

   • На интервале $(5, +∞)$ выражение положительное.

5. Найдем, где выражение $(x+3)(x-5) \leq 0$. Нам нужно, чтобы произведение было меньше или равно нулю, то есть:

   • Отрицательный знак: на интервале $(-3, 5)$.

   • Равенство нулю: при $x = -3$ и $x = 5$, так как выражение при этих значениях равно нулю.

Таким образом, решение неравенства $(x+3)(x-5) \leq 0$ — это объединение интервала $[-3, 5]$.

Ответ: $[-3, 5]$.