Решить неравенство (х+7)(х+1)(х-4)<0

Для решения неравенства $(x + 7)(x + 1)(x - 4) > 0$, будем искать, при каких значениях $x$ произведение трех выражений будет положительным.

Шаг 1: Находим корни выражения

Первым шагом найдем корни функции, при которых каждое из множителей равно нулю:

• $x + 7 = 0 \Rightarrow x = -7$

• $x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1$

• $x - 4 = 0 \Rightarrow x = 4$

Таким образом, функции равна нулю при $x = -7$, $x = -1$ и $x = 4$. Эти значения делят числовую ось на четыре интервалы:

Шаг 2: Определяем знак на каждом интервале

Теперь определим знак выражения на каждом из этих интервалов. Для этого подставим тестовые точки из каждого интервала в выражение $(x + 7)(x + 1)(x - 4)$.

1. Интервал $(-∞, -7)$: Подставим $x = -8$:

   $$(x + 7)(x + 1)(x - 4) = (-8 + 7)(-8 + 1)(-8 - 4) = (-1)(-7)(-12) = -84$$

   Знак отрицательный.

2. Интервал $(-7, -1)$: Подставим $x = -5$:

   $$(x + 7)(x + 1)(x - 4) = (-5 + 7)(-5 + 1)(-5 - 4) = (2)(-4)(-9) = 72$$

   Знак положительный.

3. Интервал $(-1, 4)$: Подставим $x = 0$:

   $$(x + 7)(x + 1)(x - 4) = (0 + 7)(0 + 1)(0 - 4) = (7)(1)(-4) = -28$$

   Знак отрицательный.

4. Интервал $(4, ∞)$: Подставим $x = 5$:

   $$(x + 7)(x + 1)(x - 4) = (5 + 7)(5 + 1)(5 - 4) = (12)(6)(1) = 72$$

   Знак положительный.

Шаг 3: Строим решение

Мы ищем те значения $x$, при которых выражение больше нуля ($> 0$). Это происходит на интервалах, где знак положительный. Из проведенных вычислений видно, что выражение положительно на интервалах $(-7, -1)$ и $(4, ∞)$.

Ответ:

Решением неравенства $(x + 7)(x + 1)(x - 4) > 0$ является: