Уравнение 2х²-х-1=0 имеет корни х1 и х2. Найдите значение выражения х1^5х2+х1х2^5

Рассмотрим уравнение $2x^2 - x - 1 = 0$, которое имеет два корня $x_1$ и $x_2$. Нужно найти значение выражения $x_1^5 x_2 + x_1 x_2^5$.

1. Решим уравнение для нахождения корней:

   Уравнение $2x^2 - x - 1 = 0$ — это квадратное уравнение. Для нахождения корней используем формулу для решения квадратных уравнений:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   В нашем случае коэффициенты:

   • $a = 2$

   • $b = -1$

   • $c = -1$

   Подставим их в формулу:

   $$x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{(-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1)}}{2 \cdot 2}$$ $$x = \frac{1 \pm \sqrt{1 + 8}}{4}$$ $$x = \frac{1 \pm \sqrt{9}}{4}$$ $$x = \frac{1 \pm 3}{4}$$

   Таким образом, получаем два корня:

   $$x_1 = \frac{1 + 3}{4} = 1 \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{1 - 3}{4} = -\frac{1}{2}$$

2. Теперь подставим корни в выражение $x_1^5 x_2 + x_1 x_2^5$:

   Нужно найти $x_1^5 x_2 + x_1 x_2^5$.

   Подставим $x_1 = 1$ и $x_2 = -\frac{1}{2}$:

   $$x_1^5 x_2 = 1^5 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) = -\frac{1}{2}$$ $$x_1 x_2^5 = 1 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right)^5 = 1 \cdot \left(-\frac{1}{32}\right) = -\frac{1}{32}$$

   Теперь сложим эти значения:

   $$x_1^5 x_2 + x_1 x_2^5 = -\frac{1}{2} + \left(-\frac{1}{32}\right) = -\frac{1}{2} - \frac{1}{32}$$