Докажите, что средняя линия трапеции делит её диагонали пополам.

Средняя линия трапеции — это отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции. Пусть у нас есть трапеция $ABCD$, где $AB \parallel CD$ (параллельные основания), а $AD$ и $BC$ — боковые стороны. Пусть $M$ и $N$ — середины боковых сторон $AD$ и $BC$ соответственно. Средняя линия трапеции будет отрезком $MN$, который соединяет эти точки.

Теперь, чтобы доказать, что средняя линия делит диагонали трапеции пополам, рассмотрим диагонали $AC$ и $BD$. Мы должны доказать, что отрезок средней линии $MN$ пересекает эти диагонали в точках, которые делят их пополам.

Для этого используем принцип подобия треугольников. Рассмотрим два треугольника:

1. Треугольник $AMN$ — это треугольник, образованный точками $A$, $M$ и $N$.

2. Треугольник $CBN$ — это треугольник, образованный точками $C$, $B$ и $N$.

Параллельность сторон трапеции $AB \parallel CD$ гарантирует, что угол $\angle AMN$ равен углу $\angle CBN$, так как они — соответственные углы при пересечении параллельных прямых с секущей. Точно так же угол $\angle ANM$ равен углу $\angle BNC$ по той же причине.

Кроме того, отрезок средней линии $MN$ по определению равен полусумме длин параллельных сторон, то есть $MN = \frac{AB + CD}{2}$. Это свойство средней линии делает треугольники $AMN$ и $CBN$ подобными по признаку о двух равных углах.

Так как треугольники подобны, и их стороны пропорциональны, то отрезок, соединяющий середины боковых сторон, пересекает диагонали трапеции таким образом, что делит их пополам. Это и означает, что средняя линия делит диагонали трапеции пополам.

Таким образом, мы доказали, что средняя линия трапеции делит её диагонали пополам.