Произведение двух последовательных натуральных четных чисел равно 168. Найдите разность НОК (A;B) - НОД (A;B).

Пусть два последовательных четных числа обозначаются как $A$ и $B$. Поскольку числа четные, их можно представить как $A = 2n$ и $B = 2n + 2$, где $n$ — натуральное число.

Условие задачи говорит, что произведение этих чисел равно 168, то есть:

Подставляем $A = 2n$ и $B = 2n + 2$ в это уравнение:

Упростим:

Раскроем скобки:

Разделим обе части уравнения на 4:

Теперь решим квадратное уравнение:

Решаем это уравнение с помощью дискриминанта. Для уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, дискриминант $\Delta$ вычисляется по формуле:

В нашем случае $a = 1$, $b = 1$, $c = -42$. Подставляем в формулу:

Корни уравнения будут:

Таким образом, два возможных значения для $n$:

Поскольку $n$ — натуральное число, то принимаем $n = 6$.

Таким образом, $A = 2n = 2 \times 6 = 12$ и $B = 2n + 2 = 2 \times 6 + 2 = 14$.

Теперь находим НОД и НОК этих чисел. Для чисел 12 и 14:

1. НОД(12, 14) — это наибольший общий делитель. Разлагаем числа на простые множители:

   • 12 = $2^2 \times 3$,

   • 14 = $2 \times 7$.

   Общий множитель — 2, значит НОД(12, 14) = 2.

2. НОК(12, 14) — это наименьшее общее кратное. Чтобы найти НОК, берём все простые множители с максимальными степенями:

   • НОК(12, 14) = $2^2 \times 3 \times 7 = 84$.

Теперь находим разность НОК и НОД:

Ответ: разность НОК и НОД равна 82.