Решите уравнение 3*5^2x-1-2*5^x=5

Давайте решим уравнение $3 \cdot 5^{2x-1} - 2 \cdot 5^x = 5$.

1. Начнем с того, что у нас есть степени с основанием 5, и мы можем попытаться выразить все через одну переменную. Для этого введем замену: пусть $y = 5^x$. Это преобразует уравнение в более простую форму.

2. Подставим $y = 5^x$ в уравнение:

   $$3 \cdot 5^{2x-1} - 2 \cdot 5^x = 5$$

   Используем свойство степеней $5^{2x-1} = 5^{2x} \cdot 5^{-1} = \frac{5^{2x}}{5} = \frac{y^2}{5}$, и подставим это в уравнение:

   $$3 \cdot \frac{y^2}{5} - 2y = 5$$

3. Умножим обе части уравнения на 5, чтобы избавиться от дроби:

   $$3y^2 - 10y = 25$$

4. Переносим все на одну сторону:

   $$3y^2 - 10y - 25 = 0$$

5. Это квадратное уравнение, которое можно решить с помощью дискриминанта. Для уравнения $ay^2 + by + c = 0$ дискриминант $D$ вычисляется по формуле:

   $$D = b^2 - 4ac$$

   В нашем случае $a = 3$, $b = -10$, и $c = -25$. Подставим значения:

   $$D = (-10)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-25) = 100 + 300 = 400$$

6. Теперь находим корни уравнения с помощью формулы:

   $$y = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

   Подставляем значения:

   $$y = \frac{-(-10) \pm \sqrt{400}}{2 \cdot 3} = \frac{10 \pm 20}{6}$$

   Получаем два корня:

   $$y_1 = \frac{10 + 20}{6} = \frac{30}{6} = 5$$ $$y_2 = \frac{10 - 20}{6} = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3}$$

7. Напоминаем, что $y = 5^x$, и подставляем найденные значения $y$:

   • Для $y_1 = 5$, получаем $5^x = 5$, откуда $x = 1$.

   • Для $y_2 = -\frac{5}{3}$ нет решений, так как $5^x$ всегда положительно для любого $x$, а $-\frac{5}{3}$ — отрицательное число.

8. Таким образом, единственным решением уравнения является $x = 1$.