√(х+13) - √(х+1) = 2. Решите иррациональное уравнение.

Для решения иррационального уравнения $\sqrt{x+13} - \sqrt{x+1} = 2$, начнем с того, что нужно избавиться от квадратных корней. Для этого изолируем один из корней и затем возведем обе стороны уравнения в квадрат.

1. Переносим $\sqrt{x+1}$ на правую сторону:

   $$\sqrt{x+13} = \sqrt{x+1} + 2$$

2. Теперь возводим обе стороны в квадрат:

   $$(\sqrt{x+13})^2 = (\sqrt{x+1} + 2)^2$$

   Получаем:

   $$x + 13 = (\sqrt{x+1})^2 + 2 \cdot 2 \cdot \sqrt{x+1} + 2^2$$

   Упростим:

   $$x + 13 = (x + 1) + 4\sqrt{x+1} + 4$$

   Сложим подобные члены:

   $$x + 13 = x + 5 + 4\sqrt{x+1}$$

3. Переносим все, что не содержит квадратного корня, на одну сторону:

   $$13 - 5 = 4\sqrt{x+1}$$

   Упростим:

   $$8 = 4\sqrt{x+1}$$

4. Разделим обе стороны на 4:

   $$2 = \sqrt{x+1}$$

5. Возводим обе стороны уравнения в квадрат:

   $$2^2 = (\sqrt{x+1})^2$$

   Получаем:

   $$4 = x + 1$$

6. Извлекаем значение $x$:

   $$x = 4 - 1 = 3$$

7. Теперь проверим, подходит ли найденное значение $x = 3$ в исходное уравнение:
   Подставляем $x = 3$ в $\sqrt{x+13} - \sqrt{x+1} = 2$:

   $$\sqrt{3+13} - \sqrt{3+1} = \sqrt{16} - \sqrt{4} = 4 - 2 = 2$$

   Уравнение выполняется.

Таким образом, решение уравнения — $x = 3$.