Решить уравнение: x³ + 3x² - 2x - 6 = 0

Для решения уравнения $x^3 + 3x^2 - 2x - 6 = 0$ будем использовать метод подбора возможных корней, а затем применим деление многочлена.

Шаг 1: Применим метод подбора возможных целых корней.

Для уравнения третьей степени, потенциальными целыми корнями могут быть делители свободного члена (в данном случае -6). Делителями числа -6 являются: $\pm 1, \pm 2, \pm 3, \pm 6$.

Подставим эти значения в уравнение.

• $x = 1$:

  $$1^3 + 3(1^2) - 2(1) - 6 = 1 + 3 - 2 - 6 = -4 \quad (\text{не корень})$$

• $x = -1$:

  $$(-1)^3 + 3(-1)^2 - 2(-1) - 6 = -1 + 3 + 2 - 6 = -2 \quad (\text{не корень})$$

• $x = 2$:

  $$2^3 + 3(2^2) - 2(2) - 6 = 8 + 12 - 4 - 6 = 10 \quad (\text{не корень})$$

• $x = -2$:

  $$(-2)^3 + 3(-2)^2 - 2(-2) - 6 = -8 + 12 + 4 - 6 = 2 \quad (\text{не корень})$$

• $x = 3$:

  $$3^3 + 3(3^2) - 2(3) - 6 = 27 + 27 - 6 - 6 = 42 \quad (\text{не корень})$$

• $x = -3$:

  $$(-3)^3 + 3(-3)^2 - 2(-3) - 6 = -27 + 27 + 6 - 6 = 0 \quad (\text{корень!})$$

Итак, $x = -3$ является корнем уравнения.

Шаг 2: Разделим исходное уравнение на $x + 3$.

Теперь, зная, что $x = -3$ — корень, можем разделить исходное уравнение на $x + 3$ с помощью деления многочлена.

Для этого используем деление многочлена $x^3 + 3x^2 - 2x - 6$ на $x + 3$. Проводим деление с остатком и получаем:

Теперь у нас есть следующее выражение:

Шаг 3: Решим оставшееся уравнение.

Теперь решим квадратное уравнение:

Итоговые корни уравнения:

Таким образом, решения уравнения $x^3 + 3x^2 - 2x - 6 = 0$ — это $x = -3$, $x = \sqrt{2}$, и $x = -\sqrt{2}$