Решите уравнение \((x+7)^3 = 49(x+7)\).

Чтобы решить уравнение $(x+7)^3 = 49(x+7)$, сначала упростим его шаг за шагом.

1. Вводное упрощение:
   Заметим, что обе стороны уравнения содержат выражение $(x + 7)$. Мы можем подставить новое обозначение для этого выражения, чтобы упростить решение. Пусть $y = x + 7$. Тогда уравнение принимает вид:

   $$y^3 = 49y$$

2. Приведение к стандартному виду:
   Переносим все элементы на одну сторону:

   $$y^3 - 49y = 0$$

   Теперь можем вынести $y$ за скобки:

   $$y(y^2 - 49) = 0$$

3. Решение уравнения:
   У нас получилось произведение двух выражений, равное нулю. Это означает, что хотя бы одно из выражений должно быть равно нулю.

   1. $y = 0$, что дает:

   $$x + 7 = 0 \quad \Rightarrow \quad x = -7$$

   2. $y^2 - 49 = 0$, что можно решить как разность квадратов:

   $$(y - 7)(y + 7) = 0$$

   Это даёт два возможных значения для $y$:

   $$y = 7 \quad \text{или} \quad y = -7$$

   Подставляем эти значения в выражение $y = x + 7$:

   • Если $y = 7$, то $x + 7 = 7$, и $x = 0$.

   • Если $y = -7$, то $x + 7 = -7$, и $x = -14$.

4. Ответ:
   Все возможные значения $x$: $x = -7$, $x = 0$, и $x = -14$.