1) Решить неравенство \( x + 1 < 2x \). В ответе указать его наименьшее целочисленное решение. 2) Решить неравенство \( -2x^2 + 7x + 4 \geq 0 \). 3) Решить неравенство \( |2x + 1| > 7 \).

1. Решим неравенство $x + 1 < 2x$.

Для решения этого неравенства перенесем все переменные в одну сторону, а все константы — в другую. Получим:

Вычтем $x$ с обеих сторон:

Или:

Наименьшее целочисленное решение этого неравенства — $x = 2$.

2. Решим неравенство $-2x^2 + 7x + 4 \geq 0$.

Для решения сначала умножим обе части неравенства на $-1$ (при этом знак неравенства изменится на противоположный):

Теперь решим это квадратное неравенство. Сначала находим корни соответствующего квадратного уравнения $2x^2 - 7x - 4 = 0$ с помощью дискриминанта:

Корни уравнения:

То есть:

Теперь представим неравенство в виде:

Определим знаки произведения на интервалах, делимых корнями $x = -\frac{1}{2}$ и $x = 4$:

• Для $x < -\frac{1}{2}$: обе скобки отрицательны, произведение положительно.

• Для $-\frac{1}{2} < x < 4$: одна скобка положительна, другая отрицательна, произведение отрицательно.

• Для $x > 4$: обе скобки положительны, произведение положительно.

Неравенство выполнено, когда произведение отрицательно или равно нулю, то есть на интервале $[-\frac{1}{2}, 4]$.

Таким образом, решением является интервал $-\frac{1}{2} \leq x \leq 4$.

3. Решим неравенство $|2x + 1| > 7$.

Решим это неравенство, рассматривая два случая:

• $2x + 1 > 7$

• $2x + 1 < -7$

Первый случай:

Второй случай:

Таким образом, решениями неравенства являются $x > 3$ или $x < -4$.