Две швеи, работая вместе, выполнят полученный заказ за 6 дней. За сколько дней каждая из них, работая отдельно, могла бы выполнить заказ, если одной потребуется для этого на 5 дней больше, чем другой?

Для решения этой задачи введем переменные:

Пусть $x$ — количество дней, которые первая швея будет работать, чтобы выполнить заказ одна.
Тогда для второй швеи время, которое ей потребуется, будет $x + 5$ дней (так как одной швее нужно на 5 дней больше).

Теперь, если они работают вместе, то их совместная работа за день будет составлять сумму их индивидуальных рабочих мощностей. Мощность работы каждой швеи выражается как обратная величина от времени, которое она тратит на выполнение заказа.

• Мощность первой швеи: $\frac{1}{x}$.

• Мощность второй швеи: $\frac{1}{x + 5}$.

Поскольку обе швеи работают вместе и выполняют заказ за 6 дней, их совместная мощность работы будет $\frac{1}{6}$. Составим уравнение для их совместной работы:

Теперь решим это уравнение. Для начала найдем общий знаменатель на левой стороне:

Теперь приравняем это к $\frac{1}{6}$:

Перемножим обе стороны на $6x(x + 5)$:

Раскроем скобки:

Переносим все на одну сторону:

Упростим:

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:

Дискриминант $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-30) = 49 + 120 = 169$.

Корни уравнения:

Таким образом, получаем два значения для $x$:

Так как время не может быть отрицательным, выбираем $x = 10$.

Таким образом, первая швея может выполнить заказ за 10 дней, а вторая швея, которой требуется на 5 дней больше, выполнит заказ за $10 + 5 = 15$ дней.

Ответ: первая швея выполнит заказ за 10 дней, а вторая — за 15 дней.