Два мастера, работая вместе, могли выполнить задание за 8 часов. Но, так как второй мастер приступил к работе на 3 часа позже, чем первый, то для выполнения задания им пришлось проработать 1 лишний час. За сколько часов мог бы выполнить все это задание первый мастер, работая отдельно?

Задача сводится к нахождению времени, которое первый мастер тратит на выполнение задания, работая отдельно, при условии, что оба мастера работают вместе, но с некоторыми задержками.

Обозначим:

• $t_1$ — время, за которое первый мастер выполняет работу.
• $t_2$ — время, за которое второй мастер выполняет работу.

Из условия задачи мы знаем, что оба мастера вместе выполняют задание за 8 часов, то есть их совместная работа за 1 час составляет $\frac{1}{8}$ от всей работы. Кроме того, второй мастер начал работать на 3 часа позже первого, и в итоге оба мастера проработали 9 часов вместо 8.

Шаг 1: Составим уравнение для совместной работы мастеров.

Когда оба мастера работают вместе, их скорости складываются. Скорость работы первого мастера — $\frac{1}{t_1}$, а второго — $\frac{1}{t_2}$. Совместная работа за 1 час — это сумма их скоростей:

Шаг 2: Учитываем, что второй мастер начал работать на 3 часа позже.

Так как второй мастер начал работать на 3 часа позже, первый мастер успел поработать 9 часов, а второй — 6 часов. За это время выполнена вся работа.

Итак, за 9 часов первый мастер сделал $\frac{9}{t_1}$ работы, а за 6 часов второй мастер — $\frac{6}{t_2}$ работы. Весь объем работы равен 1, то есть:

Шаг 3: Решаем систему уравнений.

У нас есть система из двух уравнений:

1. $\frac{1}{t_1} + \frac{1}{t_2} = \frac{1}{8}$
2. $\frac{9}{t_1} + \frac{6}{t_2} = 1$

Для удобства выразим $\frac{1}{t_1} = x$ и $\frac{1}{t_2} = y$. Тогда система принимает вид:

1. $x + y = \frac{1}{8}$
2. $9x + 6y = 1$

Теперь решим эту систему.

Из первого уравнения выразим $y$:

Подставим это значение во второе уравнение:

Раскроем скобки:

Упростим:

Переносим $\frac{3}{4}$ на правую сторону:

Теперь решим для $x$:

Это означает, что первый мастер выполняет работу за $t_1 = 12$ часов.

Ответ:

Первый мастер мог бы выполнить задание за 12 часов, работая отдельно.