X^2 + 3x - 4 > 0. Решите неравенство.

Для того чтобы решить неравенство $x^2 + 3x - 4 > 0$, нужно выполнить несколько шагов:

1. Найдем корни соответствующего уравнения:

   Сначала решим уравнение $x^2 + 3x - 4 = 0$ с помощью дискриминанта.

   Формула для нахождения дискриминанта:

   $$D = b^2 - 4ac$$

   где $a = 1$, $b = 3$, $c = -4$.

   Подставим значения:

   $$D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 9 + 16 = 25$$

   Дискриминант $D = 25$, что значит, уравнение имеет два различных корня.

   Находим корни с помощью формулы:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$$

   Подставляем значения:

   $$x = \frac{-3 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{-3 \pm 5}{2}$$

   Получаем два корня:

   $$x_1 = \frac{-3 + 5}{2} = 1$$ $$x_2 = \frac{-3 - 5}{2} = -4$$

2. Построим интервал на числовой оси:

   Корни уравнения $x^2 + 3x - 4 = 0$ — это $x = 1$ и $x = -4$. Теперь разбием числовую ось на три интервала:

   • $(-\infty, -4)$

   • $(-4, 1)$

   • $(1, \infty)$

3. Анализируем знак на каждом интервале:

   Чтобы понять, где выражение $x^2 + 3x - 4 > 0$, нужно проверить знак на каждом интервале. Для этого подставим любое число из каждого интервала в неравенство $x^2 + 3x - 4$.

   • Для интервала $(-\infty, -4)$, например, подставим $x = -5$:

     $$(-5)^2 + 3(-5) - 4 = 25 - 15 - 4 = 6 > 0$$

     Значит, на интервале $(-\infty, -4)$ выражение положительно.

   • Для интервала $(-4, 1)$, например, подставим $x = 0$:

     $$0^2 + 3(0) - 4 = -4 < 0$$

     Значит, на интервале $(-4, 1)$ выражение отрицательно.

   • Для интервала $(1, \infty)$, например, подставим $x = 2$:

     $$2^2 + 3(2) - 4 = 4 + 6 - 4 = 6 > 0$$

     Значит, на интервале $(1, \infty)$ выражение положительно.

4. Вывод:

   Мы ищем, где $x^2 + 3x - 4 > 0$. Это происходит на интервалах $(-\infty, -4)$ и $(1, \infty)$.

   Таким образом, решение неравенства:

   $$x \in (-\infty, -4) \cup (1, \infty)$$