Пло­щадь бо­ко­вой по­верх­но­сти ко­ну­са в два раза боль­ше пло­ща­ди ос­но­ва­ния. Най­ди­те угол между об­ра­зу­ю­щей ко­ну­са и плос­ко­стью ос­но­ва­ния. Ответ дайте в гра­ду­сах.

Для решения задачи воспользуемся геометрическими свойствами конуса.

Площадь боковой поверхности конуса равна:

где $r$ — радиус основания конуса, $l$ — образующая конуса.

Площадь основания конуса равна:

Согласно условию, площадь боковой поверхности в два раза больше площади основания:

Сократим обе стороны на $\pi r$ (при $r \neq 0$):

Теперь, чтобы найти угол между образующей и плоскостью основания, рассмотрим треугольник, образованный радиусом основания, образующей конуса и высотой $h$ конуса. В этом прямоугольном треугольнике:

• один катет — это радиус основания $r$,

• второй катет — это высота $h$,

• гипотенуза — это образующая $l$.

Из геометрии конуса известно, что высота $h$ и радиус $r$ связаны через образующую $l$ по теореме Пифагора:

Так как $l = 2r$, подставим это в уравнение:

Теперь, чтобы найти угол $\alpha$ между образующей и плоскостью основания, используем тангенс угла:

Подставим $h = \sqrt{3}r$:

Таким образом, угол $\alpha$ равен:

Известно, что $\arctan \left( \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = 30^\circ$.

Ответ: угол между образующей и плоскостью основания конуса равен 30°.