4 sin в степени 2 х-cos x -1=0

Давайте решим уравнение $4 \sin^2(x) - \cos(x) - 1 = 0$.

1. Начнем с того, что выражение содержит и синус, и косинус. Мы можем воспользоваться тождеством Пифагора $\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$, чтобы избавиться от синуса.

2. Из этого тождества выразим $\sin^2(x)$:

   $$\sin^2(x) = 1 - \cos^2(x)$$

   Подставим это в исходное уравнение:

   $$4(1 - \cos^2(x)) - \cos(x) - 1 = 0$$

3. Раскроем скобки и упростим:

   $$4 - 4\cos^2(x) - \cos(x) - 1 = 0$$ $$3 - 4\cos^2(x) - \cos(x) = 0$$

   Перепишем уравнение в стандартной форме:

   $$-4\cos^2(x) - \cos(x) + 3 = 0$$

   Умножим обе части на -1, чтобы упростить знак:

   $$4\cos^2(x) + \cos(x) - 3 = 0$$

4. Теперь решим это квадратное уравнение относительно $\cos(x)$. Для этого используем формулу для решения квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$:

   $$\cos(x) = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

   Здесь $a = 4$, $b = 1$, $c = -3$. Подставим значения:

   $$\cos(x) = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4 \cdot 4 \cdot (-3)}}{2 \cdot 4}$$ $$\cos(x) = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{8}$$ $$\cos(x) = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{8}$$ $$\cos(x) = \frac{-1 \pm 7}{8}$$

5. Теперь находим два возможных значения для $\cos(x)$:

   $$\cos(x) = \frac{-1 + 7}{8} = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$$

   или

   $$\cos(x) = \frac{-1 - 7}{8} = \frac{-8}{8} = -1$$

6. Теперь решим для каждого из случаев.

   • Когда $\cos(x) = \frac{3}{4}$, $x$ может быть в диапазоне:

     $$x = \pm \arccos\left(\frac{3}{4}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}$$

   • Когда $\cos(x) = -1$, то $x = \pi + 2k\pi$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, решения уравнения $4 \sin^2(x) - \cos(x) - 1 = 0$ следующие: