Решите уравнение (x - 2)(x² + 6x + 9) = 6(x + 3)

Решим уравнение $(x - 2)(x^2 + 6x + 9) = 6(x + 3)$.

1. Раскроем скобки с левой стороны уравнения. Для этого сначала упростим выражение $x^2 + 6x + 9$, которое является полным квадратом:

   $$x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2.$$

   Подставим это в исходное уравнение:

   $$(x - 2)(x + 3)^2 = 6(x + 3).$$

2. Теперь можно разделить обе стороны уравнения на $(x + 3)$, если $x \neq -3$, так как деление на ноль невозможно. Получим:

   $$(x - 2)(x + 3) = 6.$$

3. Раскроем скобки на левой стороне:

   $$x(x + 3) - 2(x + 3) = 6.$$

   Упростим:

   $$x^2 + 3x - 2x - 6 = 6,$$ $$x^2 + x - 6 = 6.$$

4. Переносим 6 на левую сторону:

   $$x^2 + x - 12 = 0.$$

5. Теперь решим квадратное уравнение. Можно попытаться решить его с помощью формулы для корней квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$, где $a = 1$, $b = 1$, $c = -12$. Формула для корней:

   $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.$$

   Подставим значения:

   $$x = \frac{-1 \pm \sqrt{1^2 - 4(1)(-12)}}{2(1)} = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 48}}{2} = \frac{-1 \pm \sqrt{49}}{2}.$$

   Так как $\sqrt{49} = 7$, получаем два корня:

   $$x = \frac{-1 + 7}{2} = \frac{6}{2} = 3,$$ $$x = \frac{-1 - 7}{2} = \frac{-8}{2} = -4.$$

6. Мы также должны проверить, что $x = -3$ не является решением, так как мы делили на $(x + 3)$ в процессе. Подставим $x = -3$ в исходное уравнение:

   $$(-3 - 2)((-3)^2 + 6(-3) + 9) = 6(-3 + 3),$$ $$(-5)(9 - 18 + 9) = 6(0),$$ $$(-5)(0) = 0,$$

   что верно, но так как мы делили на $x + 3$, этот корень не является допустимым.

Таким образом, решениями уравнения являются $x = 3$ и $x = -4$.