Решите уравнение: sin5x – sinx = 0.

Для решения уравнения $\sin(5x) - \sin(x) = 0$, давайте сначала преобразуем его в более удобную форму.

1. Переносим $\sin(x)$ на правую сторону:

   $$\sin(5x) = \sin(x)$$

2. Применим формулу разности синусов:

   $$\sin(A) - \sin(B) = 2 \cdot \cos\left(\frac{A + B}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{A - B}{2}\right)$$

   Для нашего уравнения $A = 5x$ и $B = x$, тогда:

   $$\sin(5x) - \sin(x) = 2 \cdot \cos\left(\frac{5x + x}{2}\right) \cdot \sin\left(\frac{5x - x}{2}\right)$$

   Получаем:

   $$2 \cdot \cos(3x) \cdot \sin(2x) = 0$$

3. Умножение на 2 не влияет на решение, поэтому можно переписать:

   $$\cos(3x) \cdot \sin(2x) = 0$$

4. Теперь у нас есть произведение двух функций, которое равно нулю. Это значит, что хотя бы одна из них должна быть равна нулю.

   • $\cos(3x) = 0$

   • $\sin(2x) = 0$

Решим каждое из этих уравнений:

1. $\cos(3x) = 0$

Косинус равен нулю, когда его аргумент равен $\frac{\pi}{2} + n\pi$, где $n$ — целое число:

Решаем относительно $x$:

2. $\sin(2x) = 0$

Синус равен нулю, когда его аргумент равен $n\pi$, где $n$ — целое число:

Решаем относительно $x$:

Ответ:

Таким образом, решения уравнения $\sin(5x) - \sin(x) = 0$ — это значения $x$, которые удовлетворяют обеим системам:

1. $x = \frac{\pi}{6} + \frac{n\pi}{3}$ (для $\cos(3x) = 0$),

2. $x = \frac{n\pi}{2}$ (для $\sin(2x) = 0$).

Все решения могут быть записаны в виде двух последовательностей значений для $x$.