Решить неравенство (x-2)(x-5)(x-12)>0

Для решения неравенства $(x-2)(x-5)(x-12) > 0$ нужно найти значения $x$, при которых произведение этих трёх множителей будет положительным.

Шаг 1: Нахождение нулей

Нулевые точки функции — это те значения $x$, при которых каждый из множителей равен нулю:

1. $x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2$

2. $x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$

3. $x - 12 = 0 \Rightarrow x = 12$

Таким образом, нули функции — это $x = 2$, $x = 5$ и $x = 12$.

Шаг 2: Разбиение числовой оси

Эти значения делят числовую ось на четыре промежутка:

1. $(-\infty, 2)$

2. $(2, 5)$

3. $(5, 12)$

4. $(12, +\infty)$

Теперь необходимо определить знак выражения $(x-2)(x-5)(x-12)$ на каждом из этих промежутков.

Шаг 3: Анализ знаков на каждом промежутке

Для анализа знаков на каждом промежутке выбираем по одному числу из каждого интервала и подставляем его в выражение.

1. На промежутке $(-\infty, 2)$: Выбираем $x = 0$.

   $$(0 - 2)(0 - 5)(0 - 12) = (-2)(-5)(-12) = -120$$

   Признак: отрицательный.

2. На промежутке $(2, 5)$: Выбираем $x = 3$.

   $$(3 - 2)(3 - 5)(3 - 12) = (1)(-2)(-9) = 18$$

   Признак: положительный.

3. На промежутке $(5, 12)$: Выбираем $x = 6$.

   $$(6 - 2)(6 - 5)(6 - 12) = (4)(1)(-6) = -24$$

   Признак: отрицательный.

4. На промежутке $(12, +\infty)$: Выбираем $x = 13$.

   $$(13 - 2)(13 - 5)(13 - 12) = (11)(8)(1) = 88$$

   Признак: положительный.

Шаг 4: Составление итогового ответа

Мы ищем такие значения $x$, при которых выражение $(x-2)(x-5)(x-12)$ больше нуля. Это происходит на промежутках $(2, 5)$ и $(12, +\infty)$.

Таким образом, решением неравенства $(x-2)(x-5)(x-12) > 0$ является: