Логарифмические уравнения: 1)log4(x^2-15x)=2 2)log3(x-3)=log3(x^2+2x-3) 3)lg(x-1)+lg(x+1)=0

1. Уравнение: log₄(x² - 15x) = 2.

Чтобы решить это уравнение, нужно использовать определение логарифма. Напомним, что logₐ(b) = c эквивалентно a^c = b. Применим это к нашему уравнению:

log₄(x² - 15x) = 2.

Это означает, что:

4² = x² - 15x.

Тогда:

16 = x² - 15x.

Теперь перенесем все на одну сторону:

x² - 15x - 16 = 0.

Решим это квадратное уравнение. Для этого используем формулу дискриминанта:

D = b² - 4ac = (-15)² - 4 * 1 * (-16) = 225 + 64 = 289.

Корни уравнения находим по формуле:

x = (-b ± √D) / 2a.

Подставим значения:

x = (15 ± √289) / 2.

√289 = 17, следовательно:

x = (15 ± 17) / 2.

Таким образом, получаем два возможных значения:

x₁ = (15 + 17) / 2 = 32 / 2 = 16,
x₂ = (15 - 17) / 2 = -2 / 2 = -1.

Теперь проверим, не дают ли эти значения отрицательные аргументы в логарифмах. Для логарифма log₄(x² - 15x) выражение x² - 15x должно быть положительным. Подставим x = 16:

16² - 15 * 16 = 256 - 240 = 16 (положительное).

Подставим x = -1:

(-1)² - 15 * (-1) = 1 + 15 = 16 (положительное).

Оба значения подходят, значит, корни уравнения: x = 16 и x = -1.

2. Уравнение: log₃(x - 3) = log₃(x² + 2x - 3).

Так как логарифмы с одинаковым основанием равны, если равны их аргументы, то из уравнения следует:

x - 3 = x² + 2x - 3.

Переносим все на одну сторону:

x - 3 - x² - 2x + 3 = 0,

-x² - x = 0.

Теперь решаем это уравнение:

-x(x + 1) = 0.

Это дает два решения:

x = 0 или x = -1.

Однако, мы должны проверить, не дают ли эти значения отрицательные аргументы в логарифмах. Для log₃(x - 3) и log₃(x² + 2x - 3) оба аргумента должны быть положительными.

Для x = 0:

log₃(0 - 3) = log₃(-3), что невозможно, так как логарифм от отрицательного числа не существует.

Для x = -1:

log₃(-1 - 3) = log₃(-4), что также невозможно.

Таким образом, у уравнения нет действительных решений.

3. Уравнение: lg(x - 1) + lg(x + 1) = 0.

Используем свойство логарифмов, что сумма логарифмов равна логарифму произведения:

lg((x - 1)(x + 1)) = 0.

Из определения логарифма lg(a) = 0 означает, что a = 1. Таким образом:

(x - 1)(x + 1) = 1.

Раскроем скобки:

x² - 1 = 1.

Теперь решим это уравнение:

x² = 2.

x = ±√2.

Проверим, что значения x = √2 и x = -√2 не приводят к отрицательным аргументам в логарифмах:

Для x = √2:

x - 1 = √2 - 1 > 0 и x + 1 = √2 + 1 > 0, оба выражения положительные.

Для x = -√2:

x - 1 = -√2 - 1 < 0 и x + 1 = -√2 + 1 < 0, оба выражения отрицательные, что делает логарифмы неопределенными.

Таким образом, единственное решение уравнения: x = √2.