решите уравнение 4sin⁴2x+3cos4x-1=0

Для решения уравнения $4\sin^4(2x) + 3\cos(4x) - 1 = 0$ можно использовать несколько тригонометрических тождеств и преобразований.

1. Применим тождество для $\cos(4x)$:
   Мы знаем, что:

   $$\cos(4x) = 1 - 2\sin^2(2x)$$

   Подставим это в исходное уравнение:

   $$4\sin^4(2x) + 3(1 - 2\sin^2(2x)) - 1 = 0$$

2. Упростим уравнение:
   Раскроем скобки:

   $$4\sin^4(2x) + 3 - 6\sin^2(2x) - 1 = 0$$

   Приведем подобные члены:

   $$4\sin^4(2x) - 6\sin^2(2x) + 2 = 0$$

3. Подставим $y = \sin^2(2x)$:
   Пусть $y = \sin^2(2x)$. Тогда уравнение примет вид:

   $$4y^2 - 6y + 2 = 0$$

4. Решим квадратное уравнение:
   Решаем квадратное уравнение с помощью формулы для корней:

   $$y = \frac{-(-6) \pm \sqrt{(-6)^2 - 4(4)(2)}}{2(4)}$$ $$y = \frac{6 \pm \sqrt{36 - 32}}{8}$$ $$y = \frac{6 \pm \sqrt{4}}{8}$$ $$y = \frac{6 \pm 2}{8}$$

   Таким образом, $y$ может быть:

   $$y_1 = \frac{6 + 2}{8} = 1 \quad \text{или} \quad y_2 = \frac{6 - 2}{8} = \frac{1}{2}$$

5. Возвращаемся к $\sin^2(2x)$:
   Поскольку $y = \sin^2(2x)$, то получаем два случая:

   • $\sin^2(2x) = 1$ — это означает, что $\sin(2x) = \pm 1$.

   • $\sin^2(2x) = \frac{1}{2}$ — это означает, что $\sin(2x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.

6. Решаем для $x$:

   • Для $\sin(2x) = \pm 1$:

     $$2x = \frac{\pi}{2} + k\pi \quad \text{(для любого целого } k\text{)}$$ $$x = \frac{\pi}{4} + \frac{k\pi}{2}$$

   • Для $\sin(2x) = \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$:

     $$2x = \pm \frac{\pi}{4} + 2k\pi$$ $$x = \pm \frac{\pi}{8} + k\pi$$

Таким образом, решение уравнения: