Найдите сумму всех целых решений неравенства; (x+4)(x-8)<0

Для того чтобы решить неравенство $(x + 4)(x - 8) \geq 0$, начнем с того, что найдем его корни, при которых выражение приравнивается к нулю.

1. Раскроем скобки и приравняем выражение к нулю:

Корни этого уравнения — это $x + 4 = 0$ и $x - 8 = 0$, что дает:

Теперь разберем знак произведения $(x + 4)(x - 8)$ на различных интервалах, образованных этими корнями: $(- \infty, -4)$, $(-4, 8)$ и $(8, +\infty)$.

2. Протестируем знак на каждом интервале:

• Для интервала $(- \infty, -4)$, например, при $x = -5$:

Произведение $(-1) \times (-13) = 13$, что положительно.

• Для интервала $(-4, 8)$, например, при $x = 0$:

Произведение $4 \times (-8) = -32$, что отрицательно.

• Для интервала $(8, +\infty)$, например, при $x = 9$:

Произведение $13 \times 1 = 13$, что положительно.

3. Теперь определим, где произведение $(x + 4)(x - 8)$ неотрицательно. Из анализа получаем, что неравенство выполняется на интервалах:

4. Переходим к целым решениям на этих интервалах. Из интервала $(- \infty, -4]$ целые решения — это все числа, меньшие или равные $-4$. То есть:

Из интервала $[8, +\infty)$ целые решения — это все числа, большие или равные 8. То есть:

Соберем все целые решения:

5. Теперь найдем сумму всех целых решений. Для этого выделим только те целые числа, которые нам нужно суммировать, а именно:

Таким образом, сумма всех целых решений неравенства равна 4.