У=х^2-8х+13 полное описание данной параболы

Уравнение $U = x^2 - 8x + 13$ представляет собой уравнение параболы, и его можно анализировать, выделив ключевые характеристики. Рассмотрим это уравнение подробно.

1. Тип параболы

Это квадратное уравнение, и, следовательно, его график — парабола. Парабола открывается вверх, так как коэффициент при $x^2$ (в данном случае 1) положительный.

2. Нахождение вершины параболы

Для нахождения вершины параболы, нужно привести уравнение к виду, в котором легко будет прочитать её координаты. Это делается с помощью выделения полного квадрата.

Исходное уравнение:

Чтобы выделить полный квадрат, сначала разбиваем выражение $x^2 - 8x$. Половина от $-8$ — это $-4$, и квадрат этой величины будет $16$. Добавим и вычтем 16:

Теперь у нас есть уравнение в виде $U = (x - 4)^2 - 3$, которое позволяет легко найти вершину параболы. Вершина параболы находится в точке $(4, -3)$.

3. Оси симметрии

Ось симметрии параболы — это вертикальная прямая, проходящая через $x = 4$, так как координата $x$ вершины равна 4.

4. Направление ветвей

Парабола открывается вверх, так как коэффициент при $x^2$ положительный. Это означает, что ветви параболы направлены вверх от вершины.

5. Пересечение с осями

• Пересечение с осью $y$: Для этого подставим $x = 0$ в уравнение:

  $$U = 0^2 - 8(0) + 13 = 13$$

  Точка пересечения с осью $y$ — это $(0, 13)$.

• Пересечение с осью $x$: Чтобы найти корни, приравняем уравнение к нулю:

  $$x^2 - 8x + 13 = 0$$

  Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

  $$D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 13 = 64 - 52 = 12$$

  Дискриминант положительный, значит, у уравнения есть два корня. Используем формулу для нахождения корней:

  $$x = \frac{-(-8) \pm \sqrt{12}}{2 \cdot 1} = \frac{8 \pm 2\sqrt{3}}{2}$$ $$x = 4 \pm \sqrt{3}$$

  Таким образом, парабола пересекает ось $x$ в двух точках: $(4 + \sqrt{3}, 0)$ и $(4 - \sqrt{3}, 0)$.

6. Дополнительные характеристики

• Форма параболы: Парабола является симметричной относительно прямой $x = 4$.

• Минимальное значение: Парабола имеет минимальное значение в вершине $(-3)$, так как она открывается вверх.

Таким образом, парабола с уравнением $U = x^2 - 8x + 13$ имеет вершину в точке $(4, -3)$, пересекает ось $y$ в точке $(0, 13)$, и её ветви направлены вверх.