Log(x+6) по основанию 4 больше равно 2log x по основанию 4

Ответы на вопрос

Отвечает Ширшов Данил.

Рассмотрим неравенство:

\log_4(x + 6) \geq 2 \log_4 x

Шаг 1: Применим свойства логарифмов

Используя свойство логарифмов, что $a \log_b x = \log_b(x^a)$ , перепишем правую часть неравенства:

2 \log_4 x = \log_4(x^2)

Теперь неравенство принимает вид:

\log_4(x + 6) \geq \log_4(x^2)

Шаг 2: Убираем логарифмы

Поскольку функция $\log_4$ строго возрастает, то для того, чтобы неравенство выполнялось, нужно, чтобы аргументы логарифмов также удовлетворяли неравенству. То есть:

x + 6 \geq x^2

Шаг 3: Переносим все в одну сторону

Переносим все элементы на одну сторону и приводим к стандартному виду квадратичного уравнения:

x^2 - x - 6 \leq 0

Шаг 4: Решаем неравенство

Чтобы решить неравенство $x^2 - x - 6 \leq 0$ , сначала решим соответствующее уравнение $x^2 - x - 6 = 0$ . Для этого находим его корни с помощью дискриминанта:

D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25

Корни уравнения:

x = \frac{-(-1) \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{1 \pm 5}{2}

Таким образом, получаем два корня:

x_1 = \frac{1 + 5}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{1 - 5}{2} = -2

Теперь, используя метод интервалов, анализируем знак квадратичной функции $x^2 - x - 6$ . Мы знаем, что парабола, открывающаяся вверх, меняет знак в корнях. То есть:

При $x < -2$ выражение $x^2 - x - 6$ положительное,
При $-2 < x < 3$ выражение отрицательное,
При $x > 3$ выражение снова положительное.

Таким образом, неравенство $x^2 - x - 6 \leq 0$ выполняется на интервале:

-2 \leq x \leq 3

Шаг 5: Учитываем область определения

Не забываем, что в логарифмах $\log_4(x)$ и $\log_4(x+6)$ аргументы должны быть положительными. Это накладывает дополнительные ограничения:

$x > 0$ , чтобы $\log_4 x$ было определено,
$x + 6 > 0$ , что дает $x > -6$ , но это условие уже выполнено для $x > 0$ .

Таким образом, окончательное решение — это пересечение интервала $[-2, 3]$ с областью определения $x > 0$ , что дает:

0 < x \leq 3

Ответ: $x \in (0, 3]$ .