Log(x+6) по основанию 4 больше равно 2log x по основанию 4

Рассмотрим неравенство:

Шаг 1: Применим свойства логарифмов

Используя свойство логарифмов, что $a \log_b x = \log_b(x^a)$, перепишем правую часть неравенства:

Теперь неравенство принимает вид:

Шаг 2: Убираем логарифмы

Поскольку функция $\log_4$ строго возрастает, то для того, чтобы неравенство выполнялось, нужно, чтобы аргументы логарифмов также удовлетворяли неравенству. То есть:

Шаг 3: Переносим все в одну сторону

Переносим все элементы на одну сторону и приводим к стандартному виду квадратичного уравнения:

Шаг 4: Решаем неравенство

Чтобы решить неравенство $x^2 - x - 6 \leq 0$, сначала решим соответствующее уравнение $x^2 - x - 6 = 0$. Для этого находим его корни с помощью дискриминанта:

Корни уравнения:

Таким образом, получаем два корня:

Теперь, используя метод интервалов, анализируем знак квадратичной функции $x^2 - x - 6$. Мы знаем, что парабола, открывающаяся вверх, меняет знак в корнях. То есть:

• При $x < -2$ выражение $x^2 - x - 6$ положительное,

• При $-2 < x < 3$ выражение отрицательное,

• При $x > 3$ выражение снова положительное.

Таким образом, неравенство $x^2 - x - 6 \leq 0$ выполняется на интервале:

Шаг 5: Учитываем область определения

Не забываем, что в логарифмах $\log_4(x)$ и $\log_4(x+6)$ аргументы должны быть положительными. Это накладывает дополнительные ограничения:

1. $x > 0$, чтобы $\log_4 x$ было определено,

2. $x + 6 > 0$, что дает $x > -6$, но это условие уже выполнено для $x > 0$.

Таким образом, окончательное решение — это пересечение интервала $[-2, 3]$ с областью определения $x > 0$, что дает:

Ответ: $x \in (0, 3]$.