Задание по тригонометрии cos2x=1-sinx

Для того чтобы решить уравнение $\cos(2x) = 1 - \sin(x)$, давайте преобразуем его шаг за шагом.

1. Используем формулу для $\cos(2x)$:

   Из тригонометрических тождеств известно, что:

   $$\cos(2x) = 1 - 2\sin^2(x)$$

   Подставим это в исходное уравнение:

   $$1 - 2\sin^2(x) = 1 - \sin(x)$$

2. Упростим уравнение:

   Отнимем 1 с обеих сторон:

   $$-2\sin^2(x) = -\sin(x)$$

   Умножим обе стороны на -1, чтобы избавиться от минусов:

   $$2\sin^2(x) = \sin(x)$$

3. Переносим все в одну сторону:

   $$2\sin^2(x) - \sin(x) = 0$$

4. Вынесем общий множитель:

   $$\sin(x)(2\sin(x) - 1) = 0$$

5. Решаем полученное уравнение:

   У нас два множителя, и каждый из них равен нулю, то есть:

   • $\sin(x) = 0$

   • $2\sin(x) - 1 = 0$, что дает $\sin(x) = \frac{1}{2}$

6. Решение для $\sin(x) = 0$:

   $\sin(x) = 0$ при $x = n\pi$, где $n$ — целое число.

7. Решение для $\sin(x) = \frac{1}{2}$:

   $\sin(x) = \frac{1}{2}$ при $x = \frac{\pi}{6} + 2n\pi$ и $x = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$, где $n$ — целое число.

8. Ответ:

   Все решения уравнения $\cos(2x) = 1 - \sin(x)$:

   $$x = n\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{\pi}{6} + 2n\pi \quad \text{или} \quad x = \frac{5\pi}{6} + 2n\pi$$

   где $n$ — целое число.