Дети водят хоровод вокруг новогодней ёлки. Все девочки нарядились принцессами, а все мальчики — мушкетёрами. Рядом с каждой принцессой обязательно есть хотя бы один мушкетёр. Какое наибольшее число принцесс может быть в хороводе, если всего детей 34?

Ответ: 22 принцессы.

Обоснование. Пусть принцесс $p$, мушкетёров $m$, всего $p+m=34$. Каждая принцесса должна иметь хотя бы одного соседа-мушкетёра. Если каждой принцессе «приписать» одного из её соседей-мужкетёров, то один мушкетёр может «обслужить» не более двух принцесс (слева и справа). Значит, $p\le 2m$.

Из $p\le 2(34-p)$ получаем $3p\le 68$, то есть $p\le 22$. Это верхняя граница.

Достижимость. Разместим детей по кругу блоками «ППМ» (принцесса, принцесса, мушкетёр), повторив такой блок 11 раз — это даёт 33 ребёнка: 22 принцессы и 11 мушкетёров. Добавим ещё одного мушкетёра рядом с любым «М», получим, например:
… П П М М П П М …

В этой расстановке у каждой принцессы есть сосед-мушкетёр, а трёх принцесс подряд нигде нет. Значит, 22 достигается и является максимальным.