В треугольнике ABC угол C равен 90°, tgA=√3/3. Найдите cosB. Не будет ли он равен √3? И почему?

В треугольнике ABC угол C равен 90°, то есть это прямоугольный треугольник. Мы знаем, что в прямоугольном треугольнике сумма углов всегда равна 180°, и поскольку угол C уже равен 90°, то углы A и B должны в сумме давать 90° (угол A + угол B = 90°). Это важно для решения задачи.

Также в условии задачи дана тангенс угла A: tgA = √3/3. Тангенс угла в прямоугольном треугольнике выражается как отношение противолежащего катета к прилежащему катету. Таким образом, если tgA = √3/3, то противолежащий катет к углу A в √3 раз больше, чем прилежащий.

Давайте рассмотрим, что нам нужно для нахождения косинуса угла B. В прямоугольном треугольнике угол B и угол A дополняют друг друга до 90°, то есть угол B = 90° - угол A.

Из этого следует, что косинус угла B (cosB) равен синусу угла A (cosB = sinA), потому что угол B и угол A связаны таким образом, что sinA = cosB.

Теперь давайте воспользуемся тем, что tgA = √3/3. Мы можем выразить тангенс через синус и косинус: tgA = sinA/cosA. Таким образом, мы имеем:

Далее, используя основной тригонометрический тождество $\sin^2A + \cos^2A = 1$, мы можем найти sinA и cosA. Однако, вместо того чтобы искать их отдельно, можно использовать их связь, чтобы найти cosB.

Итак, cosB не может быть равен √3, потому что косинус угла лежит в диапазоне от -1 до 1, а √3 > 1, что делает такой результат невозможным. Таким образом, cosB будет меньше 1, и точное значение можно вычислить через синус угла A.