Докажите тождество 1+sina+cosa+tga=(1+cosa)(1+tga)

Давайте докажем тождество:

1 + sin(a) + cos(a) + tg(a) = (1 + cos(a))(1 + tg(a))

Шаг 1: Раскроем правую часть

Начнем с того, что раскроем правую часть тождества:

Используем распределительное свойство умножения (формулу вида $(x + y)(z + w) = xz + xw + yz + yw$):

Упростим:

Шаг 2: Сравним с левой частью

Теперь давайте сравним выражение с левой частью:

Чтобы доказать тождество, нужно показать, что:

Шаг 3: Преобразуем с помощью тригонометрических тождеств

Заметим, что:

Следовательно, можно заменить $\tan(a)$ в правой части выражения:

Упростим:

Шаг 4: Сравнение

Теперь мы видим, что правая часть:

совпадает с левой частью:

Таким образом, обе стороны равны, и тождество доказано.