при каких значениях а имеет смысл выражение корень 1)а-5 2)4-а 3)(а-3) 4) а⁴+1 5) -а-3 6) -(а-3)⁶

Для квадратного корня (в вещественных числах) подкоренное выражение должно быть ≥ 0. Разберём каждый пункт:

1. $\sqrt{a-5}$:
   $a-5\ge 0 \Rightarrow a\ge 5.$ Диапазон: $[5;+\infty)$.

2. $\sqrt{4-a}$:
   $4-a\ge 0 \Rightarrow a\le 4.$ Диапазон: $(-\infty;4].$

3. $\sqrt{a-3}$:
   $a-3\ge 0 \Rightarrow a\ge 3.$ Диапазон: $[3;+\infty).$

4. $\sqrt{a^{4}+1}$:
   $a^{4}\ge 0$ для любых $a$, значит $a^{4}+1\ge 1>0$. Ограничений нет. Диапазон: все $\mathbb{R}$.

5. $\sqrt{-a-3}=\sqrt{-(a+3)}$:
   $-a-3\ge 0 \Rightarrow a\le -3.$ Диапазон: $(-\infty;-3].$

6. $\sqrt{-(a-3)^{6}}$:
   $(a-3)^{6}\ge 0$ всегда, потому $-(a-3)^{6}\le 0$. Чтобы подкоренное было ≥0, нужно $-(a-3)^{6}=0\Rightarrow (a-3)^{6}=0\Rightarrow a=3.$ Диапазон: $\{3\}$.

Итог по пунктам:

1. $a\ge 5$; 2) $a\le 4$; 3) $a\ge 3$; 4) любые $a$; 5) $a\le -3$; 6) только $a=3$.