Докажите, что у равнобедренного треугольника углы при основании равны.

Рассмотрим равнобедренный треугольник $ABC$ с боковыми сторонами $AB=AC$. Докажем, что углы при основании равны: $\angle ABC=\angle BCA$.

Доказательство (через середину основания и равенство треугольников):

1. Пусть $M$ — середина отрезка $BC$. Тогда $BM=MC$ по определению середины.

2. Соединим $A$ с $M$. Рассмотрим треугольники $ABM$ и $ACM$.

3. В этих треугольниках:

   • $AB=AC$ (дано, треугольник равнобедренный);

   • $BM=CM$ (так как $M$ — середина $BC$);

   • $AM$ — общая сторона.

   Следовательно, треугольники $ABM$ и $ACM$ равны по признаку SSS (сторона–сторона–сторона).

4. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов:

   $$\angle ABM=\angle MCA.$$

   Но точки $B, M, C$ лежат на одной прямой, поэтому

   $$\angle ABM=\angle ABC,\qquad \angle MCA=\angle BCA.$$

   Следовательно,

   $$\angle ABC=\angle BCA.$$

Что и требовалось доказать.

Замечание. Из того же равенства треугольников сразу получаются стандартные следствия для равнобедренного треугольника: $AM$ является одновременно медианой, биссектрисой и высотой, то есть $AM\perp BC$ и $\angle BAM=\angle MAC$.